Pada beberapa bulan yang lalu saya pernah membagikan soal matematika dasar SIMAK UI yang
ini.

Pada kode itu ada satu soal yang menarik perhatian saya. Berikut adalah soal dan pembahasannya.

Soal

Misalkan \(f : R \rightarrow R\) suatu fungsi dimana \(f(0)=1\) dan untuk setiap bilangan real \(x\) dan \(y\), berlaku \(f(xy + 1) = f(x)f(y) − f(y) − x + 1\), maka pernyataan berikut yang BENAR adalah \(\ldots\)

1. \(f(x) + y = f(y) + x\) untuk setiap bilangan real \(x\) dan \(y\)

2. \(f(x) = x + 1\) untuk setiap bilangan real \(x\)

3. \(f(2014) = 2015\)
4. \(f'(2015) = 0\)

Jawab

Karena berlaku untuk semua bilangan real \(x\) dan \(y\), maka berlaku,

\(
\begin{align}
f(yx + 1) &= f(y)f(x) − f(x) − y + 1\\\\
f(xy + 1) &= f(y)f(x) − f(x) − y + 1\\\\
f(x)f(y) − f(y) − x + 1 &= f(y)f(x) − f(x) − y + 1\\\\
f(y) + x &= f(x) + y
\end{align}
\)

Jika kita ganti \(y= 0\) diperoleh \(f(0) + x = f(x) + 0\), sehingga \(f(x) = x + 1\) dan \(f(2014) = 2015\) serta \(f'(x) = 1\).

Jadi pernyataan (1), (2) dan (3) benar (A)