Soal

Banyaknya [latex]\theta[/latex] dengan [latex]0^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}[/latex] yang memenuhi [latex]{}^2\log{(3\sin{\theta})} = 2\cdot {}^2\log{ (-3\cos{\theta}) } + 1[/latex] adalah [latex]\ldots[/latex]

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

E. 0

Jawab

Perhatikan bahwa numerus suatu logaritma haruslah positif, sehingga [latex]3\sin{\theta} > 0[/latex] atau [latex]\sin{\theta} > 0[/latex] dan [latex]-3 \cos{\theta} > 0[/latex] dan [latex] \cos{\theta} < 0[/latex]

Kemudian, $$\begin{align} {}^2\log{(3\sin{\theta})} &= 2\cdot {}^2\log{ (-3\cos{\theta}) } + 1\\ {}^2\log{(3\sin{\theta})} &= {}^2\log{ (-3\cos{\theta})^2 } + {}^2\log{2}\ {}^2\log{(3\sin{\theta})}\\&= {}^2\log{ \left( 9\cos^2{\theta} \cdot 2 \right) }\\ 3\sin{\theta} &= 18 (1 – \sin^2{\theta})\\ \sin{\theta} &= 6 – 6 \sin^2{\theta}\\ \end{align}$$

Misalkan [latex]a = \sin{\theta}[/latex], maka persamaan di atas menjadi $$ \begin{align} a &= 6 – 6a^2\\ 6a^2 +a – 6 &= 0\\ a_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 6 \cdot (-6)}}{2 \cdot 6}\\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{145}}{12}\ \end{align} $$

Akan tetapi karena [latex]\sin{\theta} > 0[/latex] maka [latex]\sin{\theta} = \dfrac{-1 + \sqrt{145}}{12}[/latex]. Dengan demikian, berarti minimal terdapat satu solusi.

Di samping itu, karena [latex]0^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}[/latex], [latex]\sin{\theta} > 0[/latex] dan [latex]\cos{\theta} < 0[/latex], maka solusi [latex]\theta[/latex] hanya di kuadran II. Jadi hanya ada satu penyelesaian.