Soal
Banyaknya \(\theta\) dengan \(0^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}\) yang memenuhi \({}^2\log{(3\sin{\theta})} = 2\cdot {}^2\log{ (-3\cos{\theta}) } + 1\) adalah \(\ldots\)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. 0
Jawab
Perhatikan bahwa numerus suatu logaritma haruslah positif, sehingga \(3\sin{\theta} > 0\) atau \(\sin{\theta} > 0\) dan \(-3 \cos{\theta} > 0\) dan \( \cos{\theta} < 0\)
Kemudian, $$\begin{align} {}^2\log{(3\sin{\theta})} &= 2\cdot {}^2\log{ (-3\cos{\theta}) } + 1\\ {}^2\log{(3\sin{\theta})} &= {}^2\log{ (-3\cos{\theta})^2 } + {}^2\log{2}\ {}^2\log{(3\sin{\theta})}\\&= {}^2\log{ \left( 9\cos^2{\theta} \cdot 2 \right) }\\ 3\sin{\theta} &= 18 (1 – \sin^2{\theta})\\ \sin{\theta} &= 6 – 6 \sin^2{\theta}\\ \end{align}$$
Misalkan \(a = \sin{\theta}\), maka persamaan di atas menjadi $$ \begin{align} a &= 6 – 6a^2\\ 6a^2 +a – 6 &= 0\\ a_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 6 \cdot (-6)}}{2 \cdot 6}\\ &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{145}}{12}\ \end{align} $$
Akan tetapi karena \(\sin{\theta} > 0\) maka \(\sin{\theta} = \dfrac{-1 + \sqrt{145}}{12}\). Dengan demikian, berarti minimal terdapat satu solusi.
Di samping itu, karena \(0^{\circ} \leq \theta \leq 360^{\circ}\), \(\sin{\theta} > 0\) dan \(\cos{\theta} < 0\), maka solusi \(\theta\) hanya di kuadran II. Jadi hanya ada satu penyelesaian.
