Pembahasan Soal Matematika IPA SIMAK UI 2015 #6

Soal

Jika sisa pembagian [latex]f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 -1)[/latex] adalah [latex]-x + 3[/latex] dan sisa pembagian [latex]f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 – 4)[/latex] adalah [latex]x + 1[/latex], maka [latex]\ldots[/latex]

(1). sisa pembagian [latex] (x-2)f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 – x – 2)[/latex] adalah [latex]4x -7[/latex],

(2). sisa pembagian [latex]x^2f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 + x – 2)[/latex] adalah [latex]-2x[/latex],

(3). sisa pembagian [latex]f(-x)^2[/latex] oleh [latex] (x^2 – 3x + 2)[/latex] adalah [latex]-5x + 9[/latex],

(4). sisa pembagian [latex]-f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 + 3x + 2)[/latex] adalah [latex]-5x -9[/latex],

Jawab

Karena sisa pembagian [latex]f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 -1) = (x – 1)(x + 1)[/latex] adalah [latex]-x + 3[/latex], maka diperoleh [latex]f(1) = -1 + 3 = 2[/latex] dan [latex]f(-1) = -(-1) + 3 = 4[/latex]

Di samping itu, karena sisa pembagian [latex]f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 -4) = (x – 2)(x + 2)[/latex] adalah [latex]x + 1[/latex], maka diperoleh [latex]f(2) = 2 + 1 = 3[/latex] dan [latex]f(-2) = (-2) + 1 = -1[/latex]

  1. sisa pembagian [latex] (x-2)f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 – x – 2) [/latex] adalah [latex]4x -7[/latex]
    Misalkan sisa pembagian [latex] (x-2)f(x)[/latex] adalah [latex]ax + b[/latex], sehingga $$ \begin{align} (x-2)f(x) &= H(x) (x^2 – x – 2) + ax + b\\ (x-2)f(x) &= H(x) (x + 1)(x – 2) + ax + b\\ x = -1 \Leftrightarrow (-1 – 2)f(-1) &= 0 – a +b\\ -3 \cdot 4 &= -a +b\\ -12 &= -a + b\\ x = 2 \Leftrightarrow (2 – 2)f(-1) &= 0 + 2a +b\\ 0 &= 2a +b\\ 0 &= 2a + b \end{align} $$ Jika kita eliminasi persamaan terakhir, diperoleh [latex]a = 4[/latex] dan [latex]b = -8[/latex], jadi sisa pembagiannya adalah [latex]4x – 8[/latex]. Jadi nomor (1) salah. Dengan demikian nomor (3) juga pasti salah.

  2. sisa pembagian [latex]x^2f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 + x – 2) [/latex] adalah [latex]-2x[/latex].
    Misalkan sisa pembagian [latex]x^2f(x)[/latex] oleh [latex] (x^2 – x – 2)[/latex] adalah [latex]ax + b[/latex], sehingga
    $$ \begin{align} x^2f(x) &= H(x) (x^2 + x – 2) + ax + b\\ x^2f(x) &= H(x) (x – 1)(x + 2) + ax + b\\ x = 1 \Leftrightarrow 1^2f(1) &= 0 + a +b\\ 1\cdot 2 &= a +b\\ 2 &= a + b\\ x = -2 \Leftrightarrow (- 2)^2f(-2) &= 0 -2a +b\\ 4 \cdot (-1) &= -2a +b\\ -4 &= -2a + b \end{align} $$ Jika kita eliminasi persamaan terakhir, diperoleh [latex]a = 2[/latex] dan [latex]b = 0[/latex]. Jadi sisa pembagiannya adalah [latex]2x[/latex]. Jadi nomor (2) juga salah. Dengan demikian pasti hanya (4) yang benar. Jadi jawabannya D

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *