Pembahasan Soal Matematika IPA SIMAK UI 2015 #5

Soal

Pertanyaan yang benar mengenai pertidaksamaan [latex]|x-4| + |x-5| > 8[/latex] adalah [latex]\ldots[/latex]

(1). Banyaknya bilangan bulat yang tidak memenuhi pertidaksamaan ada 8.

(2). Ada sejumlah hingga bilangan bulat negatif yang memenuhi pertidaksamaan.

(3). [latex] \{x \in R | x > \frac{17}{2} \}[/latex] adalah himpunan bagian dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan.

(4). Jumlah semua bilangan bulat yang memenuhi adalah 35.

Jawab

Perhatikan bahwa, nilai mutlak [latex]|x-4|[/latex] dan [latex]|x-5|[/latex] artinya,

$$ |x-4| = \begin{cases} x – 4 & x \geq 4 \\ 4 – x & x < 4 \end{cases} $$

dan

$$ |x-5| = \begin{cases} x – 5 & x \geq 5 \\ 5 – x & x < 5 \end{cases} $$

Dengan demikian terdapat tiga interval yaitu [latex] x < 4[/latex] atau [latex]4 \leq x < 5[/latex] atau [latex]x \geq 5[/latex]

Kita tinjau setiap interval masing-masing.

  1. Jika [latex] x < 4[/latex], maka $$ \begin{align} |x-4| + |x-5| &> 8\\ (4-x) + (5-x) &> 8\\ 9 – 2x &> 8\\ -2x &> -1\\ x &< \frac{1}{2} \end{align} $$ Irisan dari [latex]x < 4 [/latex] dan [latex] x < \frac{1}{2}[/latex] adalah [latex]x < \frac{1}{2}[/latex]. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah [latex] x < \frac{1}{2}[/latex]

  2. Jika [latex] 4 \leq x < 5[/latex], maka $$ \begin{align} |x-4| + |x-5| &> 8\\ (x – 4) + (5-x) &> 8\\ 1 &> 8 \end{align} $$ Karena [latex] 1 > 8[/latex] adalah pernyataan yang salah, maka tidak ada penyelesaian pada interval [latex] 4 \leq x < 5[/latex]

  3. Jika [latex] x \geq 5[/latex], maka $$ \begin{align} |x-4| + |x-5| &> 8\\ x – 4 + x – 5 &> 8\\ 2x – 9 &> 8\\ 2x &> 17\\ x &> \frac{17}{2} \end{align} $$ Karena irisan dari [latex] x \geq 5[/latex] dan [latex] x > \frac{17}{2}[/latex] adalah [latex] x > \frac{17}{2}[/latex], maka HP adalah [latex] x > \frac{17}{2}[/latex]

Dari ketiga kasus tersebut diperoleh himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah [latex]x < \frac{1}{2}[/latex] atau [latex]x > \frac{17}{2}[/latex]. Dengan demikian banyaknya bilangan bulat yang tidak memenuhipertidaksamaan ada 8, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Jadi hanya nomor (1) dan (3) saja yang benar (B)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *