Soal

Turunan ke-2015 dari fungsi $$f(x) = \sin{x} + (x+1)^{2015} + (2x-1)^{2014}$$ adalah [latex]\ldots[/latex]

A. [latex]-\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2014!(x+1) + 2014!2^{2014}[/latex]

B. [latex]-\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015![/latex]

C. [latex]-\cos{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015![/latex]

D. [latex]\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015![/latex]

E. [latex]\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2014!(x+1) + 2014!2^{2014}[/latex]

Jawab

Perhatikan bahwa turunan ke-2015 dari [latex] (2x-1)^{2014}[/latex] sama dengan 0, karena [latex]2014 < 2015[/latex].

Sedangkan turunan dari [latex]u(x) = (x+1)^{2015}[/latex] adalah $$ \begin{align} u'(x) &= 2015 \cdot (x+1)^{2014}\\ u”(x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot (x+1)^{2013}\\ u”'(x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot (x+1)^{2012}\\ u^{(4)} (x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot 2012 \cdot (x+1)^{2011}\\ u^{(5)} (x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot 2012 \cdot 2011 \cdot (x+1)^{2010}\\ &\vdots\\ u^{(2015)}(x) & = 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot 2012 \cdot \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 = 2015! \end{align} $$

Kemudian turunan dari [latex]v(x) = \sin{x}[/latex] adalah $$ \begin{align} v'(x) &= \cos{x}\\ v”(x) &= -\sin{x}\\ v”'(x) &= -\cos{x}\\ v^{(4)}(x) &= \sin{x}\\ v^{(5)}(x) &= \cos{x}\\ v^{(6)}(x) &= -\sin{x}\\ v^{(7)}(x) &= -\cos{x}\\ v^{(8)}(x) &= \sin{x}\\ \end{align} $$

Perhatikan bahwa turunan dari [latex]\sin{x}[/latex] selalu berulang setiap 4 kali. Jadi, karena 2015 dibagi 4 bersisa 3, maka turunan ke-2015 dari [latex]v(x) = \sin{x}[/latex] adalah [latex]v”'(x) = -\cos{x} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}[/latex]

Jadi [latex]f'(x) = \sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015![/latex]