Soal
Turunan ke-2015 dari fungsi $$f(x) = \sin{x} + (x+1)^{2015} + (2x-1)^{2014}$$ adalah \(\ldots\)
A. \(-\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2014!(x+1) + 2014!2^{2014}\)
B. \(-\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015!\)
C. \(-\cos{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015!\)
D. \(\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015!\)
E. \(\sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2014!(x+1) + 2014!2^{2014}\)
Jawab
Perhatikan bahwa turunan ke-2015 dari \( (2x-1)^{2014}\) sama dengan 0, karena \(2014 < 2015\).
Sedangkan turunan dari \(u(x) = (x+1)^{2015}\) adalah $$ \begin{align} u'(x) &= 2015 \cdot (x+1)^{2014}\\ u''(x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot (x+1)^{2013}\\ u'''(x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot (x+1)^{2012}\\ u^{(4)} (x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot 2012 \cdot (x+1)^{2011}\\ u^{(5)} (x) &= 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot 2012 \cdot 2011 \cdot (x+1)^{2010}\\ &\vdots\\ u^{(2015)}(x) & = 2015 \cdot 2014 \cdot 2013 \cdot 2012 \cdot \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 = 2015! \end{align} $$
Kemudian turunan dari \(v(x) = \sin{x}\) adalah $$ \begin{align} v'(x) &= \cos{x}\\ v''(x) &= -\sin{x}\\ v'''(x) &= -\cos{x}\\ v^{(4)}(x) &= \sin{x}\\ v^{(5)}(x) &= \cos{x}\\ v^{(6)}(x) &= -\sin{x}\\ v^{(7)}(x) &= -\cos{x}\\ v^{(8)}(x) &= \sin{x}\\ \end{align} $$
Perhatikan bahwa turunan dari \(\sin{x}\) selalu berulang setiap 4 kali. Jadi, karena 2015 dibagi 4 bersisa 3, maka turunan ke-2015 dari \(v(x) = \sin{x}\) adalah \(v'''(x) = -\cos{x} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{2} \right)}\)
Jadi \(f'(x) = \sin{\left( x + \frac{\pi}{2} \right)} + 2015!\)
