Ini juga merupakan salah satu soal Matematika IPA SIMAK UI 2015. Soalnya sudah pernah saya bagikan di sini
Soal
Diberikan persamaan $$ \sqrt{2x^2 + 2x + 3} + \sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{3x^2 + 2x - 1} + \sqrt{x^2 + 6}$$ Jumlah semua solusi yang mungkin dari persamaan di atas adalah \(\ldots\)
a. \(-4\)
b. \(-3\)
c. \(-2\)
d. \(-1\)
e. 1
Jawab
Perhatikan bahwa jika kita kuadratkan kedua ruas persamaan akan diperoleh, $$ \begin{align} \left( \sqrt{2x^2 + 2x + 3} + \sqrt{2x^2 + 2} \right)^2 &= \left( \sqrt{3x^2 + 2x - 1} + \sqrt{x^2 + 6} \right)^2\\ (2x^2 + 2x + 3) + (2x^2 + 2) + 2 \sqrt{(2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2)} &=\\ (3x^2 + 2x - 1) + (x^2 + 6) + 2\sqrt{(3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)}\\ (4x^2 + 2x + 5) + 2\sqrt{(2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2)} &=\\ (4x^2 + 2x + 5)+ 2\sqrt{(3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)}\\ (2x^2 + 2x + 3)(2x^2 + 2) &= (3x^2 + 2x - 1)(x^2 + 6)\\ 4x^4 + 4x^3 + \ldots &= 3x^4 + 2x^3 + \ldots\\ x^4 + 2x^3 + \ldots &= 0 \end{align} $$
Ingat kembali bahwa dalam polinomial ( suku banyak ) \(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\) berlaku \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}\). Jadi $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{2}{1} = -2$$
