Pembahasan Soal Matematika IPA SIMAK UI 2015 #7

Soal

Jika bilangan \(\log{(a^3b^7)}\), \(\log{(a^5b^{12})}\), dan \(\log{(a^8b^{15})}\) merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, dan suku ke-12 nya adalah \(\log{(b^n)}\), maka nilai \(n\) adalah \(\ldots\)

A. 82

B. 108

C. 112

D. 146

E. 152

Jawab

Ingat bahwa pada barisan aritmetika, bedanya selalu tetap, yaitu

$$ \begin{align} U_{2} - U_{1} &= U_{3} - U_{2}\\ \log{(a^5b^{12})} - \log{(a^3b^7)} &= \log{(a^8b^{15})} - \log{(a^5b^{12})}\\ \log{ \left( \dfrac{a^5b^{12}}{a^3b^7} \right)} &= \log{ \left( \dfrac{a^8b^{15}}{a^5b^{12}} \right)}\\ \log{ a^2b^5 } &= \log{ a^3b^3 }\\ a^2b^5 &= a^3b^3\\ b^2 &= a \end{align} $$

Jika \(a = b^2\), maka barisan tersebut menjadi $$ \begin{align} U_{1} &= \log{((b^2)^3b^7)}\\ &= \log{(b^{13})}\\ &= 13\log{b}\\\\ U_{2} &= \log{((b^2)^5b^{12})}\\ &= \log{(b^{22})}\\ &=22\log{b}\\\\ U_{3} &= \log{((b^2)^8b^{15})}\\ &= \log{(b^{31})}\\ &= 31\log{b} \end{align} $$

Jadi beda barisan tersebut adalah \(22\log{b} - 13\log{b} = 9 \log{b}\) dan suku pertama \( 13 \log{b}\). Sehingga suku ke-12 adalah $$ \begin{align} U_{12} &= a + 11b\\ &= 13 \log{b} + 11 \cdot 9 \log{b}\\ &= (13 + 99) \log{b}\\ &= 112 \log{b}\\ &= \log{b^{112}} \end{align} $$ Jadi \(n= 112\)

Share this...
Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *