Pembahasan Soal Matematika IPA SIMAK UI 2015 #6

Soal

Jika sisa pembagian \(f(x)\) oleh \( (x^2 -1)\) adalah \(-x + 3\) dan sisa pembagian \(f(x)\) oleh \( (x^2 – 4)\) adalah \(x + 1\), maka \(\ldots\)

(1). sisa pembagian \( (x-2)f(x)\) oleh \( (x^2 – x – 2)\) adalah \(4x -7\),

(2). sisa pembagian \(x^2f(x)\) oleh \( (x^2 + x – 2)\) adalah \(-2x\),

(3). sisa pembagian \(f(-x)^2\) oleh \( (x^2 – 3x + 2)\) adalah \(-5x + 9\),

(4). sisa pembagian \(-f(x)\) oleh \( (x^2 + 3x + 2)\) adalah \(-5x -9\),

Jawab

Karena sisa pembagian \(f(x)\) oleh \( (x^2 -1) = (x – 1)(x + 1)\) adalah \(-x + 3\), maka diperoleh \(f(1) = -1 + 3 = 2\) dan \(f(-1) = -(-1) + 3 = 4\)

Di samping itu, karena sisa pembagian \(f(x)\) oleh \( (x^2 -4) = (x – 2)(x + 2)\) adalah \(x + 1\), maka diperoleh \(f(2) = 2 + 1 = 3\) dan \(f(-2) = (-2) + 1 = -1\)

  1. sisa pembagian \( (x-2)f(x)\) oleh \( (x^2 – x – 2) \) adalah \(4x -7\)
    Misalkan sisa pembagian \( (x-2)f(x)\) adalah \(ax + b\), sehingga $$ \begin{align} (x-2)f(x) &= H(x) (x^2 – x – 2) + ax + b\\ (x-2)f(x) &= H(x) (x + 1)(x – 2) + ax + b\\ x = -1 \Leftrightarrow (-1 – 2)f(-1) &= 0 – a +b\\ -3 \cdot 4 &= -a +b\\ -12 &= -a + b\\ x = 2 \Leftrightarrow (2 – 2)f(-1) &= 0 + 2a +b\\ 0 &= 2a +b\\ 0 &= 2a + b \end{align} $$ Jika kita eliminasi persamaan terakhir, diperoleh \(a = 4\) dan \(b = -8\), jadi sisa pembagiannya adalah \(4x – 8\). Jadi nomor (1) salah. Dengan demikian nomor (3) juga pasti salah.

  2. sisa pembagian \(x^2f(x)\) oleh \( (x^2 + x – 2) \) adalah \(-2x\).
    Misalkan sisa pembagian \(x^2f(x)\) oleh \( (x^2 – x – 2)\) adalah \(ax + b\), sehingga
    $$ \begin{align} x^2f(x) &= H(x) (x^2 + x – 2) + ax + b\\ x^2f(x) &= H(x) (x – 1)(x + 2) + ax + b\\ x = 1 \Leftrightarrow 1^2f(1) &= 0 + a +b\\ 1\cdot 2 &= a +b\\ 2 &= a + b\\ x = -2 \Leftrightarrow (- 2)^2f(-2) &= 0 -2a +b\\ 4 \cdot (-1) &= -2a +b\\ -4 &= -2a + b \end{align} $$ Jika kita eliminasi persamaan terakhir, diperoleh \(a = 2\) dan \(b = 0\). Jadi sisa pembagiannya adalah \(2x\). Jadi nomor (2) juga salah. Dengan demikian pasti hanya (4) yang benar. Jadi jawabannya D

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *