Pembahasan Soal Matematika IPA SIMAK UI 2015 #5

Soal

Pertanyaan yang benar mengenai pertidaksamaan \(|x-4| + |x-5| > 8\) adalah \(\ldots\)

(1). Banyaknya bilangan bulat yang tidak memenuhi pertidaksamaan ada 8.

(2). Ada sejumlah hingga bilangan bulat negatif yang memenuhi pertidaksamaan.

(3). \( \{x \in R | x > \frac{17}{2} \}\) adalah himpunan bagian dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan.

(4). Jumlah semua bilangan bulat yang memenuhi adalah 35.

Jawab

Perhatikan bahwa, nilai mutlak \(|x-4|\) dan \(|x-5|\) artinya,

$$ |x-4| = \begin{cases} x – 4 & x \geq 4 \\ 4 – x & x < 4 \end{cases} $$

dan

$$ |x-5| = \begin{cases} x – 5 & x \geq 5 \\ 5 – x & x < 5 \end{cases} $$

Dengan demikian terdapat tiga interval yaitu \( x < 4\) atau \(4 \leq x < 5\) atau \(x \geq 5\)

Kita tinjau setiap interval masing-masing.

  1. Jika \( x < 4\), maka $$ \begin{align} |x-4| + |x-5| &> 8\\ (4-x) + (5-x) &> 8\\ 9 – 2x &> 8\\ -2x &> -1\\ x &< \frac{1}{2} \end{align} $$ Irisan dari \(x < 4 \) dan \( x < \frac{1}{2}\) adalah \(x < \frac{1}{2}\). Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \( x < \frac{1}{2}\)

  2. Jika \( 4 \leq x < 5\), maka $$ \begin{align} |x-4| + |x-5| &> 8\\ (x – 4) + (5-x) &> 8\\ 1 &> 8 \end{align} $$ Karena \( 1 > 8\) adalah pernyataan yang salah, maka tidak ada penyelesaian pada interval \( 4 \leq x < 5\)

  3. Jika \( x \geq 5\), maka $$ \begin{align} |x-4| + |x-5| &> 8\\ x – 4 + x – 5 &> 8\\ 2x – 9 &> 8\\ 2x &> 17\\ x &> \frac{17}{2} \end{align} $$ Karena irisan dari \( x \geq 5\) dan \( x > \frac{17}{2}\) adalah \( x > \frac{17}{2}\), maka HP adalah \( x > \frac{17}{2}\)

Dari ketiga kasus tersebut diperoleh himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah \(x < \frac{1}{2}\) atau \(x > \frac{17}{2}\). Dengan demikian banyaknya bilangan bulat yang tidak memenuhipertidaksamaan ada 8, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Jadi hanya nomor (1) dan (3) saja yang benar (B)

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *